Kurs Matematyczny - Pochodne

Literature.

G. M. Fichtenholz – Rachunek różniczkowy i całkowy, vol. 1, PWN Warszawa 1999

Teoria. Definicja.

Niech będzie dana funkcja f(x) określona na przedziale γ. Wychodząc od pewnej wartości x = x₀ zmiennej niezależnej nadamy jej przyrost Δx > 0 lub Δx < 0 nie wychodzący poza przedział γ, tak że i nowa wartość x = x₀ + Δx należy do tego przedziału. Wtedy wartość y=f(x₀) funkcji zostanie zastąpiona nową wartością y + Δy = f(x₀ + Δx). Granicę, przy Δx dążącym do 0, stosunku przyrostu funkcji Δy do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej Δx:

gdy

o ile ta granica istnieje, nazywamy pochodną funkcjiy = f(x) względem zmiennej niezależnej x w punkcie x = x₀.

Pochodna. Notacja.

• dy/dx lub df(x₀)/dx

  Leibniz'a

• y' lub f'(x₀)

  Lagrange'a

• Dy lub Df(x₀)

  Cauchy'ego.

Główne Własności Pochodnej

Pochodna. Twierdzenie Fermata.

Lemat.

Niech funckcja f(x) ma w punkcie x₀ pochodną skończoną. Jeśli pochodna ta

to dla wartości x dostatecznie bliskich x₀ na prawo od x₀ f(x) będzie

a dla wartości x dostatecznie bliskich x₀ na lewo od x₀ f(x) będzie

Inaczej mówimy, że funkcja f(x) w punkcie x₀ rośnie (lub maleje).

Dowód.

Niech f'(x) > 0. Z definicji pochodnej f(x)

można znaleźć takie otoczenie x₀

w którym

przy x ≠ x₀. Niech

tak że

Wtedy

zatem

z drugiej strony

i

co daje

zatem

co mieliśmy otrzymać (Q. E. D. quod erat demonstrandum).

Pochodna. Twierdzenie Fermata.

Niech funkcja f(x) określona w pewnym przedziale γ osiąga w punkcie wewnętrznym p przedziału γ największą (najmniejszą) wartość. Jeśli w tym punkcie istnieje obustronna pochodna skończona f'(x), to

Dowód.

Niech funkcja f ma maksimu w punkcie p. Załóżmy, że

Wtedy f'(p) > 0 i niech x > p wtedy f(x) > f(p) lub jeśli f'(p) < 0 i x < p wtedy f(x) > f(p). W obu przypadkach f(p) nie może być największą wartością funkcji f(x) w przedziale γ. Zatem to założenie prowadzi do sprzeczności.

Pochodna. Twierdzenie Darboux.

Twierdzenie.

Jeśli funkcja f(x) ma w przedziale [a, b] pochodną skończoną to funkcja f'(x) przybiera co najmniej raz każdą wartość pośrednią między f'(a) i f'(b).

Dowód.

Niech liczba P miesci się w przedziale (f'(a), f'(b)) tak że

Zdefiniujmy funkcję pomocniczą g(x) jako

Funkcja f(x) jest ciągła. Wynika to z tego, że jej pochodna jest skończona. Zatem i funkcja g(x) jest ciągła i ma pochodną g'(x), w przedziale [a, b]

Z tego, że funkcja g(x) jest ciągła na mocy drugiego twierdzenia Weierstrassa wynika, że osiąga ona w przedziale [a, b] swój kres górny i dolny. W rozważanym przypadku chodzi o kres górny, ponieważ dodatkowo mamy spełnione

Następnie zgodnie z twierdzeniem Fermata istnieje punkt p: a < p < b w którym

Co daje

i co należało pokazać (Q. E. D. quod erat demonstrandum).

Pochodna. Twierdzenie Rolle'a.

Twierdzenie.

Załóżmy, że funkcja f(x):

1. jest określona i ciągła w przedziale [a, b]
2. ma skończoną pochodną przynajmniej w przedziale (a, b)
3. na końcach przedziału [a, b] funkcja f przyjmuje równe wartości f(a) = f(b).

że

Dowód.

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a, b] i na mocy drugiego twierdzenia Weierstrassa ma w przedziale [a, b] maximum M i minimum m. Rozważmy dwa przypadki:

1. M = m. Wtedy w przedziale [a, b] funkcja f(x) przyjmuje stałą wartość. Wtedy też f'(x) = 0 wszędzie w [a, b] i punkt p może być dowolnym punktem z przedziału (a, b).
2. M > m. Wiemy, że f(a) = f(b) i wtedy przynajmniej jedna z tych wartości M lub m jest osiągnięta w pewnym punkcie p wewnątrz przedziału [a, b]. W takim razie, na mocy twierdzenia Fermat'a otrzymujemy, że f'(p) = 0.

Co należało pokazać (Q. E. D. quod erat demonstrandum).

Pochodna. Twierdznie Lagrange'a.

Twierdzenie.

Załóżmy, że:

1. funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale [a, b]
2. istnieje pochodna skończona co najmniej w przedziale (a, b)

wtedy między a i b jest taki punkt p taki że

że dla niego poniższa równość jest spełniona

Dowód.

Wprowadźmy w przedziale (a, b) funkcję pomocniczą F(x)

Funkcja ta spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle'a. Jej pochodna

jest ograniczona w przedziale (a, b). Na obu krańcach przedziału [a, b]

Z twierdzenie Rolle'a wynika, że wewnątrz przedziału (a, b) jest taki punkt p że

Co daje

i ostatecznie

co należało pokazać (Q. E. D. quod erat demonstrandum).

Pochodna. Granica Pochodnej.

Załóżmy, że funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [x₀, x₀ + H] (gdzie H > 0) i ma pochodną skończoną f'(x) dla x > x₀. Jeśli istnieje skończona lub nieskończona granica

i jest równa K wtedy prawostronna pochodna w punkcie x₀ jest jej równa.

Przykład.

Rozpatrzmy funkcję

i jej pochodną

Granica pochodnej f'(x) gdy

wynosi

a granica pochodnej f'(x) gdy

wynosi odpowiednio

To oznacza, że funkcja f(x) ma w punkcie x = 0 tylko jednostronne pochodne tj. prawostronną pochodną równą +∞ i lewostronną pochodną równą -∞.

Pochodna. Twierdzenie Cauchy'ego.

Twierdzenie.

Załóżmy, że:

1. funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedziale [a, b]
2. mają one pochodne skończone co najmniej w przedziale (a, b)
3. g'(x) ≠ 0 w przedziale (a, b)

wtedy pomiędzy a i b jest taki punkt p że

dla którego spełnione jest wyrażenie

Dowód.

Z twierdzenia Rolle'a g(b) ≠ g(a). Rozpatrzmy w przedziale (a, b) funkcję pomocniczą F(x)

Funkcja ta spełnia wszystkie założenia twierdzenie Rolle'a. Funkcja F(x) jest ciągła w przedziale [a, b], gdyż ciągłe są funkcje f(x) oraz g(x). W (a, b) istnieje pochodna F'(x) i jest równa

Na obu końcach [a, b]

Stąd mamy, że w przedziale (a, b) istnieje taki punkt p, że

I dalej mamy

czyli

co należało pokazać (Q. E. D. quod erat demonstrandum). To twierdzenie nazywa się uogólnionym twierdzeniem o wartości średniej.

Pochadne Funkcji Elementarnych.

1. Funkcja stała.
   Jeśli y = const wtedy zawsze Δy = 0 niezależnie od wartości Δx.

2. Wielomian.
   Jeśli y = xⁿ gdzie n jest liczbą naturalną. Nadajmy x przyrost Δx wtedy nowa wartość y wynosi

   y + Δy = (x + Δx)ⁿ = xⁿ + nx^n-1 Δx + n(n-1)/2 x^n-2Δx² + …

   a przyrost Δy

   Δy = nx^n-1 Δx + n(n-1)/2 x^n-2Δx² + …

   and

   Δy/Δx = nx^n-1 + n(n-1)/2 x^n-2Δx + …

   gdy Δx → 0

   y' = nx^n-1

3. Funkcja 1/x
   Jeśli y = 1/x wtedy y + Δy wynosi

   1/[x + Δx]

   co daje

   Δy = 1/(x + Δx) - 1/x = -Δx/[x(x + Δx)]
   Δy/Δx = -1/[x(x + Δx)]

   i ostatecznie gdy Δx → 0

   y' = -1/x²

4. Funkcja x^1/2
   Jeśli y = x^1/2 (gdy x > 0) wtedy

   y + Δy = [x + Δx]^1/2

   co daje

   Δy = [x + Δx]^1/2 - x^1/2 = Δx/[x^1/2 + (x + Δx)^1/2]

   i ostatecznie

   Δy/Δx = 1/[x^1/2 + (x + Δx)^1/2]

   gdy Δx → 0

   y' = 1/[2x^1/2]

5. Funkcja potęgowa
   Jeśli y = x^μ gdzie μ jest liczbą rzeczywistą. Załóżmy, że x ≠ 0

   Δy/Δx = [(x + Δx)^μ - x^μ]/Δx = x^μ-1[(1 + Δx/x)^μ - 1]/[Δx/x]

   gdy Δx → 0

   y' = μx^μ-1

   ponieważ jeśli Δx/x → 0

   [(1 + Δx/x)^μ - 1]/[Δx/x] → μ

6. Funkcja wykładnicza
   Jeśli y = a^x gdy a > 0, -∞ < x < +∞

   Δy/Δx = [a^{x + Δx} - a^x]/Δx = a^x[a^Δx - 1]/Δx

   gdy Δx → 0

   y' = a^xln a

   dla a = e

   y' = e^x

7. Funkcja logarytmiczna
   Jeśli y = log_a x gdy 0 < a ≠ 1, 0 < x < +∞

   Δy/Δx = [log_a(x + Δx) - log_a x]/Δx = 1/x log_a(1 + Δx/x)/[Δx/x]

   gdy Δx → 0

   y' = log_a e/x

   W przypadku logarytmu naturalnego

   y' = 1/x.

8. Funkcja trygonometryczna
   Rozważmy przypadek y = sin(x) wtedy

   Δy/Δx = [sin(x + Δx) - sin(x)]/Δx = sin(1/2Δx)/[1/2Δx] cos(x + 1/2 Δx)

   gdy Δx → 0

   y' = cos(x)

   ponieważ dla Δx → 0

   sin(Δx)/Δx = 1

9. Funkcja odwrotna
   Rozważmy funkcję y = f(x). Przyjmijmy, że istnieje funkcja odwrotna do f(x) oraz że funkcja f(x) ma w punkcie x₀ skończoną i różną od 0 pochodną f'(x₀). Wówczas w odpowiednim punkcie y₀ = f(x₀) istnieje także pochodna funkcji odwrotnej g(y) i jest równa 1/f(x₀).

   Δx/Δy = 1/[Δy/Δx]

   gdy Δx → 0

   g'(y₀) = 1/f'(x₀)

10. Funkcja cyklometryczna
    Rozważmy y = arcsin(x) (-1 < x < 1 i -π/2 < y < π/2). y jest funkcją odwrotną funkcji x = sin(y). Pochodna x wynosi

    x' = cos(y)

    z tego wynika, że także pochodna y istnieje i wynosi

    y' = 1/cos(y) = 1/[1 - sin²(y)]^1/2 = +1/[1 - x²]^1/2

    znak jest dodatni, ponieważ cos(y) > 0.

Znajdowanie Pochodnych Funkcji Złożonych.

Twierdzenie.
Załóżmy, że:

1. funkcja y = f(x) ma w punkcie x₀ pochodną y'= f'(x₀)
2. funkcja z = g(y) ma w punkcie y₀ = f(x₀) pochodną z' = g'(y₀). Funkcja złożona z = g(f(x)) ma także w punkcie f(x₀) swoją pochodną, która wynosi
   [g(f(x))]' = g'(y₀) f'(x₀) = g'_y(f(x₀)) f'(x₀)

   lub krócej

   [g(f(x))]' = z'_y y'_x

Pochodna. Reguły Obliczania Pochodnych.

Zestawienie wzorów na pochodne

Elementarne wzory na pochodne:

1. y = const

   y' = 0

2. y = x;

   y' = 1

3. y = xμ;

   y' = μ xμ - 1

4. y = ax;

   y' = axln a

5. y = loga(x);

   y' = loga(e)/x

6. y = sin(x);

   y' = cos(x)

7. y = cos(x);

   y' = -sin(x)

8. y = tg(x);

   y' = 1/cos2(x)

9. y = ctg(x);

   y' = -1/sin2(x)

10. y = arcsin(x);

    y' = 1/[1 - x2]1/2

11. y = arccos(x);

    y' = -1/[1 - x2]1/2

12. y = arctg(x);

    y' = 1/[1 + x2]

Pochodna. Reguły Obliczania Pochodnych. Calculus

Niech funkcja u = f(x) ma w punkcie x pochodną u'.

1. wtedy funkcja z = const u ma także pochodną w punkcie x

   lim Δz/Δx = const lim Δu/Δx = const u'
   z' = const u'

2. Niech funkcja v = g(x) ma w punkcie x pochodną v'. Wtedy funkcja y = u ± v także ma pochodną w tym punkcie i wynosi ona

   y + Δy = (u + Δu) ± (v + Δv)
   Δy = Δu ± Δv

   i

   Δy/Δx = Δu/Δx ± Δv/Δx

   ostatecznie w granicy gdy Δx → 0

   Δu/Δx ± Δv/Δx → u' ± v'

3. Niech funkcja v = g(x) ma w punkcie x pochodną v'. Wtedy funkcja y = uv ma także pochodną w tym punkcie i wynosi ona

   y + Δy = (u + Δu)(v + Δv)
   Δy = Δu + u Δv + ΔuΔv

   i

   Δy/Δx = Δu/Δx v + u Δv/Δx + Δu/Δx Δv

   ostatecznie w granicy gdy Δx → 0 także Δv → 0

   Δu/Δx v + u Δv/Δx → u'v + uv'

4. Niech funkcja v = g(x) różni się od 0 i ma w punkcie x pochodną v'. Wtedy funkcja y = u/v ma także pochodną w tym punkcie i wynosi ona

   y + Δy = (u + Δu)/(v + Δv)
   Δy = [Δu v - u Δv]/[v(v + Δv)]

   i

   Δy/Δx = [Δu/Δx v - u Δv/Δx]/[v(v + Δv)]

   ostatecznie w granicy gdy Δx → 0 także Δv → 0

   [Δu/Δx v - u Δv/Δx]/[v(v + Δv)] → [u'v - uv']/v²

Pochodna. Przykłady.

Przedstawione poniżej przykłady pokazują sposób prezentowania rozwiązań. Więcej rozwiązanych przykładów można znaleźć po zalogowaniu się na konto.

Pochodna. Przykłady 1-10

1. Przykład 1.

   y = 2 sin³(3/x)^1/2

   pochodna

   y' = 6 sin²(3/x)^1/23^1/2(-1/2x^-3/2) = -3^3/2x^-3/2sin²((3/x)^1/2) cos((3/x)^1/2)

2. Przykład 2.

   y = sin²(x)/cos⁷(x) - 2/(5 cos⁵(x))

   pochodna

   y' = [2sin(x)cos(x) cos⁷(x) - 7 cos⁶(x)(-sin(x)) sin²(x)]/cos¹⁴(x) - [50 cos⁴(x)(-sin(x)]/(25 cos¹⁰(x)) =
   [2sin(x)cos⁸(x) + 7 cos⁶(x)sin³(x)]/cos¹⁴(x) - 2 sin(x)/cos⁶(x) =
   [2sin(x)cos²(x) + 7 sin³(x)]/cos⁸(x) - 2 sin(x)/cos⁶(x) =
   [2sin(x)cos²(x) + 7 sin³(x) - 2 sin(x) cos²(x)]/cos⁸(x) =
   7 sin³(x)/cos⁸(x)

3. Przykład 3.

   y = [sin(x) + (x + 2x^1/2)^1/2]^1/2

   pochodna

   y' = 1/2 [sin(x) + (x + 2x^1/2)^1/2]^-1/2 [cos(x) + 1/2(x + 2x^1/2)^-1/2(1 + x^-1/2)]

4. Przykład 4.

   y = [1 + tg(x + 1/x)]^1/2

   pochodna

   y' = 1/2 [1 + tg(x + 1/x)]^-1/2 [1 + tg²(x + 1/x)] [1 - x^-2]

5. Przykład 5.

   y = [3 tg(3x) - tg³(3x)]/[1 - 3tg²(3x)]

   pochodna

   [(3/cos²(3x)3 - 3 tg²(3x)/cos²(3x)3)(1 - 3tg²(3x)) - (3tg(3x) - tg³(3x))(-6tg(3x)/cos²(3x)3)]/[1 - 3 tg²(3x)]² =
   [9/cos²(3x)(1 - tg²(3x))(1 - 3tg²(3x)) - 9/cos²(3x)(3tg(3x) - tg³(3x))(-2tg(3x))]/[1 - 3 tg²(3x)]² =
   9/cos²(3x)[1 - 3tg²(3x) - tg²(3x) + 3tg⁴(3x) + 6tg²(3x) - 2tg⁴(3x)]/[1 - 3 tg²(3x)]² =
   9/cos²(3x)[1 + 2tg²(3x) + tg⁴(3x)]/[1 - 3 tg²(3x)]² =
   9/cos²(3x)[1 + tg²(3x)]²/[1 - 3 tg²(3x)]²

6. Przykład 6.

   y = tg(x) - ctg(x) - 2x

   pochodna

   y' = 1/cos²(x) + 1/sin²(x) - 2 = 1 + tg²(x) + 1 + ctg²(x) - 2 = tg²(x) + ctg²(x)

7. Przykład 7.

   y = arctg(3x)

   pochodna

   y' = 3/[1 + (3x)²]

8. Przykład 8.

   y = 7 arctg(x/2)

   pochodna

   y' = 7/2 1/[1 + (x/2)²]

9. Przykład 9.

   y = arcsin(1 - x)

   pochodna

   y' = 1/[1 - (1 - x)²]^1/2(-1) = -1/[2x - x²]^1/2

10. Przykład 10.

    y = arccos(1 - x²)^1/2

    pochodna

    y' = -1/[1 - (1 - x²)]^1/2(1/2)(1 - x²)^-1/2(-2x) =
    x/|x|(1 - x²)^-1/2 = sgn(x)/(1 - x²)^1/2